Ecuaciones de movimiento

La Aceleración Constante

En aras de la precisión, esta sección debería titularse «Ecuaciones de movimiento unidimensionales para una aceleración constante». Dado que tal título sería una pesadilla estilística, permítanme comenzar esta sección con la siguiente matización. Estas ecuaciones de movimiento sólo son válidas cuando la aceleración es constante y el movimiento está limitado a una línea recta.

Dado que vivimos en un universo tridimensional en el que la única constante es el cambio, es posible que te sientas tentado a descartar esta sección. Sería correcto decir que ningún objeto ha viajado en línea recta con una aceleración constante en ningún lugar del universo y en ningún momento: ni hoy, ni ayer, ni mañana, ni hace cinco mil millones de años, ni treinta mil millones de años en el futuro, nunca. Esto lo puedo decir con absoluta certeza metafísica.

Entonces, ¿para qué sirve esta sección? Bueno, en muchos casos, es útil suponer que un objeto viajó o viajará a lo largo de una trayectoria que es esencialmente recta y con una aceleración que es casi constante; es decir, cualquier desviación del movimiento ideal puede ser esencialmente ignorada. El movimiento a lo largo de una trayectoria curva puede considerarse efectivamente unidimensional si sólo hay un grado de libertad para los objetos implicados. Una carretera puede girar y explorar todo tipo de direcciones, pero los coches que circulan por ella sólo tienen un grado de libertad: el de conducir en una dirección o en la contraria. (No se puede conducir en diagonal por una carretera y esperar permanecer en ella durante mucho tiempo). En este sentido, no se diferencia del movimiento restringido a una línea recta. Aproximar situaciones reales con modelos basados en situaciones ideales no se considera una trampa. Así es como se hacen las cosas en física. Es una técnica tan útil que la utilizaremos una y otra vez.

Nuestro objetivo en esta sección es derivar nuevas ecuaciones que puedan utilizarse para describir el movimiento de un objeto en términos de sus tres variables cinemáticas: velocidad (v), posición (s) y tiempo (t). Hay tres formas de emparejarlas: velocidad-tiempo, posición-tiempo y velocidad-posición. En este orden, también suelen llamarse primera, segunda y tercera ecuaciones del movimiento, pero no hay ninguna razón de peso para aprender estos nombres.

Dado que se trata de un movimiento en línea recta, la dirección se indicará mediante el signo: las magnitudes positivas apuntan en una dirección, mientras que las negativas apuntan en la dirección opuesta. Determinar qué dirección es positiva y cuál es negativa es totalmente arbitrario. Las leyes de la física son isotrópicas, es decir, son independientes de la orientación del sistema de coordenadas. Sin embargo, algunos problemas son más fáciles de entender y resolver cuando se elige una dirección positiva sobre otra. Mientras sea coherente dentro de un problema, no importa.

La Velocidad-Tiempo

La relación entre la velocidad y el tiempo es sencilla durante un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Cuanto mayor sea la aceleración, mayor será el cambio de velocidad. El cambio de velocidad es directamente proporcional al tiempo cuando la aceleración es constante. Si la velocidad aumenta una cierta cantidad en un tiempo determinado, debería aumentar el doble de esa cantidad en el doble de tiempo. Si un objeto ya partía de una determinada velocidad, su nueva velocidad sería la anterior más este cambio. Ya deberías poder ver la ecuación en tu mente.

Esta es la más fácil de las tres ecuaciones para derivar usando el álgebra. Empieza por la definición de aceleración.

a =v
t

 

Expandir ∆v a vv0 y condensar ∆t a t.

a =v − v0
t

 

A continuación, resuelve v en función de t.

v = v0 + at [1]

Esta es la primera ecuación del movimiento. Se escribe como un polinomio: un término constante (v0) seguido de un término de primer orden (at). Como el orden más alto es 1, es más correcto llamarla función lineal.

El símbolo v0 [vee nought] se denomina velocidad inicial o velocidad en el momento t = 0. A menudo se considera la «primera velocidad», pero es una forma bastante ingenua de describirla. Una definición mejor sería decir que la velocidad inicial es la velocidad que tiene un objeto en movimiento cuando adquiere importancia en un problema. Supongamos que un meteorito es avistado en el espacio y el problema es determinar su trayectoria, entonces la velocidad inicial sería probablemente la que tenía cuando fue observado por primera vez. Pero si el problema consiste en que ese mismo meteoro se queme en su reentrada, entonces la velocidad inicial será probablemente la que tenía cuando entró en la atmósfera terrestre. La respuesta a «¿Cuál es la velocidad inicial?» es «Depende». Esto resulta ser la respuesta a muchas preguntas.

El símbolo v es la velocidad en algún momento t después de la velocidad inicial. A menudo se denomina velocidad final, pero esto no la convierte en la «última velocidad» de un objeto. Tomemos el caso del meteoro. ¿Qué velocidad representa el símbolo v? Si has prestado atención, deberías haber anticipado la respuesta. Depende. Puede ser la velocidad que tiene el meteoro al pasar por la Luna, al entrar en la atmósfera terrestre o al chocar con la superficie de la Tierra. También podría ser la velocidad del meteorito cuando se encuentra en el fondo de un cráter. (En ese caso, v = 0 m/s.) ¿Alguno de estos valores es la velocidad final? Quién sabe. Alguien podría extraer el meteorito de su agujero en el suelo y marcharse con él. ¿Es esto relevante? Probablemente no, pero depende. No hay ninguna regla para este tipo de cosas. Hay que analizar el texto de un problema en busca de cantidades físicas y luego asignar un significado a los símbolos matemáticos.

La última parte de esta ecuación at es el cambio en la velocidad desde el valor inicial. Recordemos que a es la tasa de cambio de la velocidad y que t es el tiempo después de algún evento inicial. La tasa por el tiempo es el cambio. Dado un objeto que acelera a 10 m/s2, después de 5 s se moverá 50 m/s más rápido. Si comenzó con una velocidad de 15 m/s, entonces su velocidad después de 5 s sería…

15 m/s + 50 m/s = 65 m/s

La Posición y el Tiempo

El desplazamiento de un objeto en movimiento es directamente proporcional a la velocidad y al tiempo. Muévete más rápido. Ir más lejos. Muévete más tiempo (como en un tiempo más largo). Ir más lejos. La aceleración agrava esta sencilla situación, ya que la velocidad es ahora también directamente proporcional al tiempo. Intenta decir esto con palabras y suena ridículo. «El desplazamiento es directamente proporcional al tiempo y directamente proporcional a la velocidad, que es directamente proporcional al tiempo». El tiempo es un factor doble, lo que hace que el desplazamiento sea proporcional al cuadrado del tiempo. Un coche que acelera durante dos segundos cubriría cuatro veces la distancia de un coche que acelera sólo un segundo (22 = 4). Un coche que acelera durante tres segundos cubriría nueve veces la distancia (32 = 9).

Ojalá fuera tan sencillo. Este ejemplo sólo funciona cuando la velocidad inicial es cero. El desplazamiento es proporcional al cuadrado del tiempo cuando la aceleración es constante y la velocidad inicial es cero. Una afirmación general verdadera tendría que tener en cuenta cualquier velocidad inicial y cómo cambia la velocidad. Esto da lugar a un enunciado de proporcionalidad terriblemente confuso. El desplazamiento es directamente proporcional al tiempo y proporcional al cuadrado del tiempo cuando la aceleración es constante. Una función que es a la vez lineal y cuadrada se dice que es cuadrática, lo que nos permite compactar considerablemente el enunciado anterior. El desplazamiento es una función cuadrática del tiempo cuando la aceleración es constante

Los enunciados de proporcionalidad son útiles, pero no tan generales como las ecuaciones. Todavía no sabemos cuáles son las constantes de proporcionalidad para este problema. Una forma de averiguarlas es utilizar el álgebra.

Empieza con la definición de velocidad media.

v =s
t

 

Expandir ∆s a s – s0 y condensar ∆t a t.

Resuelve la posición.

s = s0 + vt [a]

Para continuar, tenemos que recurrir a un pequeño truco conocido como el teorema de la velocidad media o la regla de Merton. Yo prefiero esta última, ya que la regla puede aplicarse a cualquier cantidad que cambie a un ritmo uniforme, no sólo a la velocidad. La regla de Merton fue publicada por primera vez en 1335 en el Merton College de Oxford por el filósofo, matemático, lógico y calculista inglés William Heytesbury (1313-1372). Cuando la tasa de cambio de una cantidad es constante, su valor medio está a medio camino entre sus valores final e inicial.

v = ½(v + v0) [4]

Sustituye la primera ecuación del movimiento [1] en esta ecuación [4] y simplifica con la intención de eliminar v.

v = ½[(v0 + at) + v0]

v = ½(2v0 + at)

v = v0 + ½at [b]

 

Ahora sustituye [b] por [a] para eliminar v [vee bar].

s = s0 + (v0 + ½at)t

Y por último, resolver para s en función de t.

s = s0 + v0t + ½at2 [2]

Esta es la segunda ecuación del movimiento. Se escribe como un polinomio: un término constante (s0), seguido de un término de primer orden (v0t ), seguido de un término de segundo orden (½at2). Como el orden más alto es 2, es más correcto llamarlo cuadrático.

El símbolo s0 [ess nought] suele considerarse la posición inicial. El símbolo s es la posición un tiempo t después. Si se quiere, se puede llamar posición final. El cambio de posición (∆s) se denomina desplazamiento o distancia (según las circunstancias) y algunas personas prefieren escribir la segunda ecuación del movimiento así.

s = v0t + ½at2 [2]

La Velocidad y Posición

Las dos primeras ecuaciones de movimiento describen cada una una variable cinemática en función del tiempo. En esencia…

  1. La velocidad es directamente proporcional al tiempo cuando la aceleración es constante (v ∝ t).
  2. El desplazamiento es proporcional al tiempo al cuadrado cuando la aceleración es constante (∆s ∝ t2).

La combinación de estas dos afirmaciones da lugar a una tercera, que es independiente del tiempo. Por sustitución, debería ser evidente que…

3. El desplazamiento es proporcional a la velocidad al cuadrado cuando la aceleración es constante (∆s ∝ v2).

Esta afirmación es especialmente relevante para la seguridad en la conducción. Cuando se duplica la velocidad de un coche, se necesita cuatro veces más distancia para detenerlo. Si triplicas la velocidad, necesitarás nueve veces más distancia. Esta es una buena regla general que hay que recordar.

La introducción conceptual está hecha. Es hora de derivar la ecuación formal.

Método 1

Combina las dos primeras ecuaciones de forma que se elimine el tiempo como variable. La forma más fácil de hacerlo es comenzar con la primera ecuación del movimiento…

v = v0 + at [1]

resolverlo por tiempo…

t =v − v0
a

y luego sustituirlo en la segunda ecuación del movimiento…

s = s0 + v0t + ½at2 [2]

así…

2a(s − s0) = 2(vv0 − v02) + (v2 − 2vv0 + v02)

2a(s − s0) = v2 − v02

Haz que la velocidad al cuadrado sea el tema y ya está.

v2 = v02 + 2a(s − s0) [3]

Esta es la tercera ecuación del movimiento. Una vez más, el símbolo s0 [ess nought] es la posición inicial y s es la posición algún tiempo t después. Si lo prefieres, puedes escribir la ecuación utilizando ∆s – el cambio de posición, desplazamiento o distancia según lo amerite la situación.

v2 = v02 + 2as [3]

Las Derivaciones de Cálculo

El cálculo es un tema matemático avanzado, pero hace que la derivación de dos de las tres ecuaciones del movimiento sea mucho más sencilla. Por definición, la aceleración es la primera derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Toma la operación de esa definición e inviértela. En lugar de diferenciar la velocidad para encontrar la aceleración, integra la aceleración para encontrar la velocidad. Esto nos da la ecuación velocidad-tiempo. Si suponemos que la aceleración es constante, obtenemos la llamada primera ecuación del movimiento [1].

Ecuaciones de movimiento captura 1

También por definición, la velocidad es la primera derivada de la posición con respecto al tiempo. Invierta esta operación. En lugar de diferenciar la posición para encontrar la velocidad, integra la velocidad para encontrar la posición. Esto nos da la ecuación posición-tiempo para una aceleración constante, también conocida como la segunda ecuación del movimiento [2].

Ecuaciones de movimiento captura 2

A diferencia de la primera y la segunda ecuación del movimiento, no hay una forma obvia de derivar la tercera ecuación del movimiento (la que relaciona la velocidad con la posición) utilizando el cálculo. No podemos hacer ingeniería inversa a partir de una definición. Tenemos que hacer un truco bastante sofisticado.

La primera ecuación del movimiento relaciona la velocidad con el tiempo. La derivamos esencialmente de esta derivada…

dv = a
dt

 

La segunda ecuación del movimiento relaciona la posición con el tiempo. Se derivó de esta derivada…

ds = v
dt

 

La tercera ecuación del movimiento relaciona la velocidad con la posición. Por extensión lógica, debería venir de una derivada que se parece a esto…

dv = ?
ds

 

¿Pero a qué equivale esto? Bueno, nada por definición, pero como todas las cantidades es igual a sí mismo. También es igual a sí mismo multiplicado por 1. Utilizaremos una versión especial de 1 (dt/dt) y una versión especial del álgebra (álgebra con infinitesimales). Mira lo que ocurre cuando hacemos esto. Obtenemos una derivada igual a la aceleración (dv/dt) y otra derivada igual a la inversa de la velocidad (dt/ds).

Ecuaciones de movimiento captura 3

El siguiente paso es la separación de variables. Juntar las cosas que son similares e integrarlas. Esto es lo que obtenemos cuando la aceleración es constante…

Ecuaciones de movimiento captura 4

Ciertamente, es una solución inteligente, y no es más difícil que las dos primeras derivaciones. Sin embargo, sólo funcionaba porque la aceleración era constante, constante en el tiempo y constante en el espacio. Si la aceleración variara de alguna manera, este método sería incómodamente difícil. Volveríamos a utilizar el álgebra para salvar nuestra cordura. No es que haya nada malo en ello. El álgebra funciona y vale la pena salvar la cordura.

Ecuaciones de movimiento captura 5