Distancia y desplazamiento

Definición de distancia

Tengo que suponer que todos los que están leyendo esto tienen una idea de lo que es la distancia. Es uno de esos conceptos innatos que no parecen requerir explicación. No obstante, he elaborado una definición preliminar que me parece bastante buena.

La distancia es una medida del intervalo entre dos lugares. (Esta no es la definición definitiva). La «distancia» es la respuesta a la pregunta: «¿Qué distancia hay de esto a aquello o entre esto y aquello?».

¿A qué distancia está?

¿A qué distancia está?Posible RespuestaRespuesta común
Tierra al sol1 unidad astronómica1,5 × 1011 m
De la calle 66 a la 86 en Nueva York1 milla1,6 × 103 m
del talón a la punta del pie de un hombre1 pie3,0 × 10-1 m

 

Ya te haces una idea. Lo curioso es que a veces indicamos las distancias como tiempos.

¿A qué distancia está?

¿A qué distancia está?Posible RespuestaRespuesta común
Estación Espacial Internacional90 minutos por órbita40.000.000 m
Chicago a Milwaukee90 minutos en tren150.000 m
De Central Park a Battery Park90 minutos a pie10.000 m

 

Todos son noventa minutos, pero nadie diría que todos están a la misma distancia. Lo que se describe en estos ejemplos no es la distancia, sino el tiempo. En una conversación informal, a menudo es correcto expresar las distancias de esta manera, pero en la mayor parte de la física esto es inaceptable.

distancia fisica

Aclaremos definiendo cada una de estas palabras con mayor precisión. La distancia es una medida escalar del intervalo entre dos lugares medidos a lo largo del camino real que los conecta. El desplazamiento es una medida vectorial del intervalo entre dos lugares medido a lo largo del camino más corto que los conecta.

¿Qué distancia recorre la Tierra en un año? En términos de distancia, bastante (la circunferencia de la órbita de la Tierra es de casi un billón de metros), pero en términos de desplazamiento, nada (en algunos aspectos, cero). Al cabo de un año, la Tierra vuelve al punto de partida. No ha ido a ninguna parte.Su humilde autor va de vez en cuando en bicicleta de Manhattan a Nueva Jersey en busca de そば (soba) y さけ (sake) con descuento en una gran tienda de alimentación japonesa al otro lado del río Hudson. Llegar allí es un proceso de tres pasos.

  1. Seguir el río Hudson 8,2 km río arriba.
  2. Cruzar utilizando el puente George Washington (1,8 km entre anclajes).
  3. Invierta la dirección y diríjase río abajo durante 4,5 km.

La distancia recorrida es de unos razonables 14 km, pero el desplazamiento resultante es de apenas 2,7 km hacia el norte. El final de este viaje es realmente visible desde el principio. Tal vez debería comprar una canoa.

La distancia y el desplazamiento son magnitudes diferentes, pero están relacionadas. Si tomas el primer ejemplo del paseo alrededor del escritorio, debería ser evidente que a veces la distancia es la misma que la magnitud del desplazamiento. Este es el caso de cualquiera de los segmentos de un metro, pero no siempre es el caso de los grupos de segmentos. Al trazar mis pasos completamente alrededor del escritorio, la distancia y el desplazamiento de mi viaje pronto comienzan a divergir. La distancia recorrida aumenta uniformemente, pero el desplazamiento fluctúa antes de volver finalmente a cero.

Este ejemplo artificial muestra que la distancia y el desplazamiento tienen la misma magnitud sólo cuando consideramos intervalos pequeños. Como el desplazamiento se mide a lo largo del camino más corto entre dos puntos, su magnitud es siempre menor o igual que la distancia.

¿Cómo de pequeño es? La respuesta a esta pregunta es «depende». No existe una regla rígida que permita distinguir lo grande de lo pequeño. El ADN es una molécula grande, pero no se puede ver sin la ayuda de un microscopio. Los coches compactos son pequeños, pero no cabría uno en el bolsillo. Lo que es pequeño en un contexto puede ser grande en otro. Las matemáticas han desarrollado una manera más formal de tratar la noción de pequeñez y es mediante el uso de los límites. En el lenguaje de los límites, la distancia se aproxima a la magnitud del desplazamiento a medida que la distancia se acerca a cero. En símbolos, esa afirmación tiene el siguiente aspecto.

s → 0 ⇒s → |∆s|

 

Símbolo para la Distancia

¿Cuál sería un buen símbolo para la distancia? No lo sé. ¿Qué tal la d? Bueno, es un buen símbolo para nosotros los anglófonos, pero ¿qué pasa con el resto del planeta? (En realidad, distance en francés se escribe igual que en inglés, pero se pronuncia de forma diferente, así que puede haber una razón para elegir la d después de todo). En la época actual, el inglés es la lengua dominante de la ciencia, lo que significa que muchos de nuestros símbolos se basan en palabras inglesas utilizadas para describir el concepto asociado. La distancia no entra en esta categoría. Aun así, si quieres usar d para representar la distancia, ¿cómo podría impedírtelo?

Entonces, ¿qué tal x? La distancia es un concepto sencillo y x es una variable sencilla. ¿Por qué no emparejarlos? Muchos libros de texto lo hacen, pero éste no. La variable x debería reservarse para el movimiento unidimensional a lo largo de un eje x definido o el componente x de un movimiento más complejo. Aun así, si quieres usar la x para representar la distancia, ¿cómo podría detenerte?

Como he dicho hace un momento, el inglés es actualmente la lengua dominante de la ciencia, pero no siempre ha sido así ni hay razón para creer que vaya a seguir siéndolo para siempre. El latín fue preeminente durante mucho tiempo, pero hoy se utiliza poco. Aun así, hay miles de palabras técnicas y no tan técnicas en la lengua inglesa que tienen raíces latinas. La palabra latina para distancia es spatium. También es el origen de la palabra inglesa space. En este libro, y en muchos otros, se utilizará la letra s para distancia y desplazamiento.

Las cantidades escalares van en cursiva. Las cantidades vectoriales, en negrita. Por estas razones, utilizaremos los símbolos en cursiva s0 (ess nought) para la posición inicial en un camino, s para la posición en el camino en cualquier momento después de eso, y ∆s (delta ess) para el espacio atravesado yendo de una posición a otra – la distancia. Del mismo modo, utilizaremos los símbolos en negrita s0 (ess nought) para el vector de posición inicial, s para el vector de posición en cualquier momento posterior, y ∆s (delta ess) para el cambio de posición – el desplazamiento.

Imagina que un objeto se desplaza a lo largo de una trayectoria arbitraria sobre una cuadrícula bidimensional infinita. Coloca un observador en cualquier lugar del espacio, dentro o fuera de la trayectoria, no importa. Haz que la posición del observador sea el origen de la cuadrícula. Dibuja una flecha desde el origen hasta el objeto en movimiento en cualquier momento. Este es nuestro vector de posición. Es un vector porque tiene una magnitud (un tamaño) y una dirección. Comienza cuando el objeto está en s0. Termina cuando está en s. Su cambio, ∆s, es el desplazamiento.

Sigue imaginando nuestro objeto imaginario viajando a lo largo de una trayectoria arbitraria, pero esta vez ignora el sistema de coordenadas. Piensa en la trayectoria de la misma manera que piensas en viajar por una carretera. No hay coordenadas x o y en una autopista (y ciertamente no hay z). No hay arriba, abajo, izquierda o derecha. No hay norte, sur, este u oeste. Sólo existe el avance. Las coordenadas son para los marineros o los pilotos. Las distancias son para los conductores. Las ubicaciones en las carreteras se indican con mojones o hitos. ¿Cuánto has avanzado en la carretera? ¿Cuánta distancia has recorrido? Comienza cuando el objeto está en s0. Termina cuando está en s. Su cambio, ∆s, es la distancia.

Si crees que el latín merece su fama de «lengua muerta», no puedo obligarte a utilizar estos símbolos, pero debo advertirte que su uso es bastante habitual. Los viejos hábitos son difíciles de erradicar. El uso de spatium se remonta al primer libro de cinemática que conocemos: Diálogos sobre dos nuevas ciencias (1638) de Galileo Galilei.

Unidades de distancia y desplazamiento

La unidad SI de distancia y desplazamiento es el metro [m]. Un metro es un poco más largo que la distancia entre la punta de la nariz y el extremo del dedo más lejano de la mano extendida de un hombre adulto típico. Originalmente se definía como la diezmillonésima parte de la distancia entre el ecuador y el polo norte, medida a través de París (de modo que la circunferencia de la Tierra sería de 40 millones de metros); después, la longitud de una barra de metal cortada con precisión y guardada en una cámara acorazada en las afueras de París; después, un cierto número de longitudes de onda de un tipo particular de luz. El metro se define ahora en términos de velocidad de la luz. Un metro es la distancia que recorre la luz (o cualquier otra radiación electromagnética de cualquier longitud de onda) en el vacío tras 1/299.792,458 de segundo.

Los múltiplos (como el kilómetro para las distancias por carretera) y las divisiones (como el centímetro para el tamaño del papel) también se utilizan habitualmente en la ciencia.

También hay varias unidades naturales que se utilizan en astronomía y ciencia espacial.

  • Una milla náutica es ahora 1852 m (6080 pies), pero originalmente se definía como un minuto de arco de un gran círculo, o 1/60 de 1/360 de la circunferencia de la Tierra. Cada sesenta millas náuticas equivale entonces a un grado de latitud en cualquier lugar de la Tierra o a un grado de longitud en el ecuador. Esto se consideró una unidad razonable para su uso en la navegación, por lo que esta milla se denomina milla náutica. La milla ordinaria se conoce con mayor precisión como milla estatutaria, es decir, la milla definida por la ley. El uso de la milla náutica persiste hoy en día en la navegación, la aviación y en la NASA (por alguna razón desconocida).
  • Las distancias en el espacio exterior cercano se comparan a veces con el radio de la Tierra: 6,4 × 106 m. Algunos ejemplos: el planeta Marte tiene aproximadamente la mitad del radio de la Tierra, el tamaño de una órbita geosincrónica es de unos 6½ radios terrestres y la separación Tierra-Luna es de unos 60 radios terrestres.
  • La distancia media de la Tierra al Sol se denomina unidad astronómica: aproximadamente 1,5 × 1011 m. La distancia del Sol a Marte es de 1,5 au; del Sol a Júpiter, 5,2 au; y del Sol a Plutón, 40 au. La estrella más cercana al Sol, Próxima Centauri, está a unas 270.000 au.
  • Para distancias realmente grandes, la unidad elegida es el año luz. Un año luz es la distancia que recorrería la luz en el vacío al cabo de un año. Equivale a 9,5 × 1015 m (unos diez billones de kilómetros o seis billones de millas).

 

Simetría

Cambiemos la forma de observar el mundo y veamos cómo afecta a la distancia y al desplazamiento. Una operación simétrica es un cambio que no produce ningún cambio. Se dice que las cantidades que no se ven afectadas por un cambio presentan una simetría. Lo contrario de la simetría es la asimetría y lo contrario de la simetría es la asimetría.

En primer lugar, la ubicación del observador no importa. Coloca el origen donde sea conveniente (o donde sea inconveniente). No importará. La distancia y el desplazamiento no se ven afectados por una traslación del origen. No hay ningún lugar especial a la hora de medir la distancia y el desplazamiento. Todos los lugares del universo son equivalentes para centrar su sistema de coordenadas. El espacio es homogéneo.

En segundo lugar, la orientación de los ejes es irrelevante. Apúntalos en la dirección que quieras (o no quieras). Sólo mantén el eje x perpendicular al eje y. (La distancia y el desplazamiento no se ven afectados por la rotación de los ejes. No hay ninguna dirección especial cuando se trata de orientar su sistema de coordenadas. Todas las direcciones son equivalentes. El espacio es isotrópico.

En tercer lugar, y lo más difícil de expresar con palabras, la quiralidad o lateralidad del sistema de coordenadas también es irrelevante. Con frecuencia, el eje x apunta a la derecha y el eje y apunta hacia arriba (es decir, hacia la parte superior de una página, pizarra, pizarrón blanco, pantalla de ordenador, etc.). Si añadimos un tercer eje z, ¿en qué dirección debe apuntar: hacia dentro o hacia fuera (es decir, hacia dentro o hacia fuera de la página, la pizarra, etc.)? Si eliges fuera, entonces has hecho un sistema de coordenadas a la derecha. Y al contrario, entonces es un sistema de coordenadas a la izquierda.

Los dos sistemas de coordenadas posibles son como las manos, porque son imágenes especulares la una de la otra. Ninguna rotación te permitirá alinear todas las partes de tu mano izquierda con todas las partes de tu mano derecha. Alinee los dedos y los pulgares de ambas manos y sus palmas estarán orientadas en direcciones opuestas. Alinee las palmas y los dedos y sus pulgares apuntarán en direcciones opuestas. La palabra griega para mano es χερι (kheri), por lo que esta propiedad de las manos y los sistemas de coordenadas (y de las moléculas orgánicas y las interacciones magnéticas) se llama quiralidad. Equivale a un reflejo en un espejo. Un sistema de coordenadas diestro es diestro cuando se mira directamente, pero es zurdo cuando se mira en un espejo, es decir, cuando se mira a través del espejo, por utilizar una referencia literaria.

La distancia y el desplazamiento no se ven afectados por un reflejo del sistema de coordenadas. Sin embargo, esto no es cierto para todas las magnitudes físicas. Las que no funcionan igual cuando se ven en un espejo se llaman pseudovectores. Algunos ejemplos de pseudovectores son el par de torsión, el momento angular o espín y el campo magnético. La dirección de un pseudovector siempre está relacionada con una regla de la mano de algún tipo (como la que se utiliza en la multiplicación de vectores). Pero como acabamos de discutir y como todo el mundo sabe, las manos derechas se convierten en manos izquierdas y las manos izquierdas se convierten en manos derechas cuando se miran en un espejo. Una mano equivocada significa una dirección equivocada. El espacio parece conocer la diferencia entre izquierda y derecha para algunas cantidades.