Caída libre

La aceleración debida a la gravedad

Un objeto en caída libre es un objeto que cae bajo la única influencia de la gravedad. Cualquier objeto sobre el que actúe únicamente la fuerza de la gravedad se dice que está en estado de caída libre. Los objetos en caída libre tienen dos características de movimiento importantes:

¿Quieres ver cómo se acelera un objeto?

  • Coge algo con la mano y déjalo caer. Cuando lo sueltas de la mano, su velocidad es cero. Durante la caída, su velocidad aumenta. Cuanto más tiempo cae, más rápido se desplaza. A mí me parece una aceleración.
  • Pero la aceleración es algo más que el aumento de la velocidad. Coge este mismo objeto y lánzalo verticalmente al aire. Al subir, su velocidad disminuirá hasta que se detenga e invierta la dirección. La disminución de la velocidad también se considera aceleración.
  • Pero la aceleración es algo más que un simple cambio de velocidad. Recoge tu objeto maltrecho y lánzalo por última vez. Esta vez lánzalo horizontalmente y observa cómo su velocidad horizontal se vuelve gradualmente más y más vertical. Puesto que la aceleración es el índice de cambio de la velocidad con el tiempo y la velocidad es una cantidad vectorial, este cambio de dirección también se considera aceleración.

En cada uno de estos ejemplos la aceleración era el resultado de la gravedad. El objeto se aceleraba porque la gravedad tiraba de él hacia abajo. Incluso el objeto lanzado directamente hacia arriba está cayendo, y empieza a caer en el momento en que sale de tu mano. Si no fuera así, habría seguido alejándose de ti en línea recta. Ésta es la aceleración debida a la gravedad.

¿Cuáles son los factores que afectan a esta aceleración debida a la gravedad? Si se lo preguntas a una persona normal, lo más probable es que diga «el peso», con lo que en realidad quiere decir «la masa» (más adelante se hablará de ello). Es decir, los objetos pesados caen rápido y los ligeros, lento. Aunque esto puede parecer cierto a primera vista, no responde a mi pregunta original. «¿Cuáles son los factores que afectan a la aceleración debida a la gravedad?» La masa no afecta a la aceleración debida a la gravedad de forma medible. Ambas magnitudes son independientes entre sí. Los objetos ligeros se aceleran más lentamente que los pesados sólo cuando actúan fuerzas distintas de la gravedad. Cuando esto ocurre, un objeto puede estar cayendo, pero no está en caída libre. La caída libre se produce cuando la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un objeto.

Prueba este experimento.

  • Consigue un trozo de papel y un lápiz. Sujétalos a la misma altura sobre una superficie plana y déjalos caer simultáneamente. La aceleración del lápiz es notablemente mayor que la del papel, que revolotea y se desplaza hacia abajo.

Hay algo que se interpone en el camino, y es la resistencia del aire (también conocida como resistencia aerodinámica). Si pudiéramos reducir de algún modo esta resistencia, tendríamos un verdadero experimento. No hay problema.

  • Repite el experimento, pero antes de empezar, enrolla el trozo de papel en la bola más apretada posible. Ahora, cuando el papel y el lápiz se sueltan, debería ser evidente que sus aceleraciones son idénticas (o al menos más parecidas que antes).

Nos acercamos a la esencia de este problema. Si de alguna manera pudiéramos eliminar por completo la resistencia del aire. La única manera de hacerlo es dejar caer los objetos en el vacío. Es posible hacerlo en el aula con una bomba de vacío y una columna de aire sellada. En estas condiciones, se puede demostrar que una moneda y una pluma se aceleran a la misma velocidad. (Antiguamente, en Gran Bretaña, se utilizaba una moneda llamada guinea, por lo que esta demostración se denomina a veces «guinea y pluma»). Una demostración más dramática se realizó en la superficie de la Luna, que es lo más parecido a un vacío real que el ser humano puede experimentar en un futuro próximo. El astronauta David Scott lanzó un martillo de roca y una pluma de halcón al mismo tiempo durante la misión lunar Apolo 15 en 1971. De acuerdo con la teoría que voy a presentar, los dos objetos aterrizaron en la superficie lunar simultáneamente (o casi). Sólo un objeto en caída libre experimentará una aceleración pura debida a la gravedad.

La Torre de Pisa Inclinada

Retrocedamos un poco en el tiempo. En el mundo occidental anterior al siglo XVI, se asumía generalmente que la aceleración de un cuerpo que cae es proporcional a su masa, es decir, se esperaba que un objeto de 10 kg se acelerara diez veces más rápido que uno de 1 kg. El antiguo filósofo griego Aristóteles de Estagira (384-322 a.C.) incluyó esta regla en el que quizá fue el primer libro de mecánica. Fue una obra inmensamente popular entre los académicos y a lo largo de los siglos adquirió una cierta devoción que rozaba lo religioso. No fue hasta que llegó el científico italiano Galileo Galilei (1564-1642) que alguien puso a prueba las teorías de Aristóteles. A diferencia de todos los demás hasta ese momento, Galileo trató de verificar sus propias teorías mediante la experimentación y la observación cuidadosa. A continuación, combinó los resultados de estos experimentos con el análisis matemático en un método que era totalmente nuevo en aquella época, pero que ahora se reconoce generalmente como la forma de hacer ciencia. Por la invención de este método, Galileo es considerado generalmente como el primer científico del mundo.

En una historia que puede ser apócrifa, Galileo (o un ayudante, más bien) dejó caer dos objetos de masa desigual desde la Torre Inclinada de Pisa. En contra de las enseñanzas de Aristóteles, los dos objetos cayeron al suelo simultáneamente (o casi). Dada la velocidad a la que se produciría tal caída, es dudoso que Galileo pudiera haber extraído mucha información de este experimento. La mayor parte de sus observaciones sobre la caída de cuerpos eran en realidad objetos redondos que rodaban por rampas. Esto ralentizó las cosas lo suficiente como para poder medir los intervalos de tiempo con relojes de agua y su propio pulso (los cronómetros y las fotocélulas aún no se habían inventado). Esto lo repitió «un centenar de veces» hasta que consiguió «una precisión tal que la desviación entre dos observaciones nunca superaba la décima parte de un pulso».

Con resultados así, se podría pensar que las universidades de Europa habrían concedido a Galileo su más alto honor, pero no fue así. Los profesores de la época estaban horrorizados por los métodos comparativamente vulgares de Galileo, llegando incluso a negarse a reconocer lo que cualquiera podía ver con sus propios ojos. En una medida que cualquier persona pensante encontraría ahora ridícula, el método de observación controlada de Galileo fue considerado inferior a la razón pura. Imagínese. Yo podía decir que el cielo era verde y, siempre que presentara un argumento mejor que el de los demás, sería aceptado como un hecho contrario a la observación de casi todas las personas videntes del planeta.

Galileo calificó su método de «nuevo» y escribió un libro titulado Discursos sobre dos ciencias nuevas en el que utilizaba la combinación de la observación experimental y el razonamiento matemático para explicar cosas como el movimiento unidimensional con aceleración constante, la aceleración debida a la gravedad, el comportamiento de los proyectiles, la velocidad de la luz, la naturaleza del infinito, la física de la música y la resistencia de los materiales. Sus conclusiones sobre la aceleración debida a la gravedad fueron que…

la variación de la velocidad en el aire entre las bolas de oro, plomo, cobre, pórfido y otros materiales pesados es tan pequeña que en una caída de 100 codos una bola de oro seguramente no superaría a una de cobre ni siquiera por cuatro dedos. Habiendo observado esto, llegué a la conclusión de que en un medio totalmente desprovisto de resistencia todos los cuerpos caerían con la misma velocidad.

Porque creo que nadie cree que se pueda nadar o volar de una manera más simple o más fácil que la que emplean instintivamente los peces y las aves. Por lo tanto, cuando observo que una piedra inicialmente en reposo cae desde una posición elevada y adquiere continuamente nuevos incrementos de velocidad, ¿por qué no he de creer que tales incrementos tienen lugar de una manera sumamente sencilla y bastante obvia para todos?

Dudo mucho que Aristóteles haya comprobado alguna vez mediante un experimento.

Galileo Galilei, 1638

A pesar de esta última cita, Galileo no era inmune a utilizar la razón como medio para validar su hipótesis. En esencia, su argumento era el siguiente. Imagina dos rocas, una grande y otra pequeña. Dado que su masa es desigual, se acelerarán a ritmos diferentes: la roca grande se acelerará más rápido que la pequeña. Ahora coloca la roca pequeña encima de la grande. ¿Qué ocurrirá? Según Aristóteles, la roca grande se alejará de la pequeña. ¿Y si invertimos el orden y colocamos la roca pequeña debajo de la grande? Parece que deberíamos razonar que dos objetos juntos deberían tener una menor aceleración. La roca pequeña se interpondría y frenaría a la grande. Pero dos objetos juntos son más pesados que cualquiera de los dos por separado, por lo que también deberíamos razonar que tendrán una mayor aceleración. Esto es una contradicción.

He aquí otro problema de pensamiento. Tomemos dos objetos de igual masa. Según Aristóteles, deberían acelerar a la misma velocidad. Ahora átalos juntos con un trozo ligero de cuerda. Juntos, deberían tener el doble de su aceleración original. Pero, ¿cómo saben que esto es así? ¿Cómo saben los objetos inanimados que están conectados? Ampliemos el problema. ¿No es todo objeto pesado un mero conjunto de piezas más ligeras pegadas entre sí? ¿Cómo puede un conjunto de piezas ligeras, cada una de las cuales se mueve con una pequeña aceleración, acelerar repentinamente de forma rápida una vez unidas? Hemos arrinconado a Aristóteles. La aceleración debida a la gravedad es independiente de la masa.

Galileo hizo muchas mediciones relacionadas con la aceleración debida a la gravedad, pero nunca calculó su valor (o si lo hizo, no lo he visto en ningún sitio). En su lugar, expuso sus conclusiones como un conjunto de proporciones y relaciones geométricas, muchas de ellas. Su descripción de la velocidad constante requería una definición, cuatro axiomas y seis teoremas. Todas estas relaciones pueden escribirse ahora como una única ecuación en notación moderna.

v =s
t

 

Los símbolos algebraicos pueden contener tanta información como varias frases de texto, y por eso se utilizan. En contra de la opinión generalizada, las matemáticas facilitan la vida.

La Ubicación

El valor generalmente aceptado para la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra y cerca de ella es…

g = 9.8 m/s2

o en unidades que no son de IS…

g = 35 kph/s = 22 mph/s = 32 feet/s2

Es útil memorizar este número (como ya han hecho millones de personas en todo el mundo), pero también hay que señalar que este número no es una constante. Aunque la masa no influye en la aceleración debida a la gravedad, hay tres factores que sí lo hacen. Son la ubicación, la ubicación y la ubicación.

Todo el mundo que lea esto debe estar familiarizado con las imágenes de los astronautas saltando en la Luna y debe saber que la gravedad allí es más débil que en la Tierra, aproximadamente una sexta parte o 1,6 m/s2. Por eso los astronautas pudieron saltar en la superficie con facilidad a pesar del peso de sus trajes espaciales. En cambio, la gravedad en Júpiter es más fuerte que en la Tierra: unas dos veces y media más fuerte o 25 m/s2. Los astronautas que atraviesan la parte superior de la espesa atmósfera de Júpiter se encontrarían con dificultades para mantenerse en pie dentro de su nave espacial.

En la Tierra, la gravedad varía en función de la latitud y la altitud (que se tratará en un capítulo posterior). La aceleración debida a la gravedad es mayor en los polos que en el ecuador y mayor a nivel del mar que en la cima del Everest. También hay variaciones locales que dependen de la geología. El valor de 9,8 m/s2 -con sólo dos dígitos significativos- es cierto para todos los lugares de la superficie de la Tierra y se mantiene para altitudes de hasta +10 km (la altitud de los aviones comerciales) y profundidades de hasta -20 km (muy por debajo de las minas más profundas).

¿Cómo de loco estás por la precisión? Para la mayoría de las aplicaciones, el valor de 9,8 m/s2 es más que suficiente. Si tienes prisa, o no tienes acceso a una calculadora, o simplemente no necesitas tanta precisión; redondear g en la Tierra a 10 m/s2 suele ser aceptable. En un examen de opción múltiple en el que no se permite el uso de calculadoras, esta suele ser la forma de proceder. Si necesitas mayor precisión, consulta una obra de referencia completa para encontrar el valor aceptado para tu latitud y altitud.

Si eso no es suficiente, obtenga los instrumentos necesarios y mida el valor local con tantos dígitos significativos como pueda. Es posible que aprendas algo interesante sobre tu ubicación. Una vez conocí a un geólogo cuyo trabajo consistía en medir g en una parte de África Occidental. Cuando le pregunté para quién trabajaba y por qué lo hacía, básicamente se negó a responder, aparte de decir que se podía inferir la estructura interior de la Tierra a partir de un mapa gravimétrico preparado con sus hallazgos. Sabiendo esto, uno podría ser capaz de identificar las estructuras donde podrían encontrarse minerales valiosos o petróleo.

Como todas las profesiones, los que se dedican a la medición de la gravedad (gravimetría) tienen su propia jerga especial. La unidad SI de aceleración es el metro por segundo al cuadrado [m/s2]. Si se divide en cien partes, se obtiene el centímetro por segundo al cuadrado [cm/s2], también conocido como gal [Gal] en honor a Galileo. Obsérvese que la palabra de la unidad está en minúsculas, pero el símbolo está en mayúsculas. El gal es un ejemplo de unidad gaussiana.

001 Gal = 1 cm/s2 = 0.01 m/s2
100 Gal = 100 cm/s2 = 1 m/s2

Si se divide un galón en mil partes, se obtiene un miligal [mGal].

1 mGal = 0.001 Gal = 10−5 m/s2

Dado que la gravedad de la Tierra produce una aceleración en la superficie de unos 10 m/s2, un miligal es una millonésima parte del valor al que todos estamos acostumbrados.

1 g ≈ 10 m/s2 = 1,000 Gal = 1,000,000 mGal

Las mediciones con esta precisión pueden utilizarse para estudiar los cambios en la corteza terrestre, el nivel del mar, las corrientes oceánicas, el hielo polar y las aguas subterráneas. Si se lleva un poco más lejos, es posible incluso medir los cambios en la distribución de la masa en la atmósfera.