Estás sentado en clase de matemáticas intentando sobrevivir a tu último examen sorpresa. Las preguntas de la página 1 no eran demasiado difíciles, pero en la segunda página, ves un gráfico con dos puntitos etiquetados como “Punto 1” y “Punto 2”. Y están conectados por una línea diagonal.
No te asustes: ni siquiera necesitas una calculadora de distancias para resolver esto. La fórmula de la distancia que buscas es bastante sencilla y está relacionada con uno de los conceptos más útiles y famosos de todas las matemáticas: el teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras está relacionado con la fórmula de la distancia
El teorema de Pitágoras debe su nombre al filósofo griego Pitágoras. Pero él no puede atribuirse el mérito exclusivo de su descubrimiento. El viejo Pitágoras vivió entre el 570 y el 490 a.C. Sin embargo, más de 1.000 años antes de su nacimiento, los antiguos babilonios ya conocían el principio geométrico que ahora lleva su nombre.
Para los que necesiten un repaso rápido, el teorema de Pitágoras dice
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los lados restantes.
Aquí tenemos que desentrañar un par de cosas. Un triángulo rectángulo, también conocido como triángulo rectángulo, es aquel que contiene un ángulo de 90 grados, también conocido como ángulo recto. La línea más larga de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa. (Es la línea situada en el lado opuesto del ángulo recto).
Ahora bien, como todos sabemos, un triángulo puede tener tres lados, pero un cuadrado tiene cuatro.
Así que imagina que tomas la hipotenusa de un triángulo rectángulo y la conviertes en una de las cuatro líneas de un nuevo cuadrado. Luego haz lo mismo con los otros dos lados del triángulo original. Terminarás con tres cuadrados individuales.
Como señala el teorema de Pitágoras, el cuadrado que acabas de hacer con la hipotenusa tendrá la misma área que los otros dos cuadrados juntos. Si la hipotenusa se etiquetara como “c” y los otros segmentos de línea se etiquetaran como “a” y “b”, entonces podríamos expresar esa idea así:
La fórmula de la distancia y el plano de coordenadas del punto
Cuando la mayoría de la gente oye la palabra “gráfico”, se imagina un gráfico con dos líneas -una vertical y otra horizontal- que se cruzan en un ángulo recto.
La línea vertical se denomina eje Y y su homóloga horizontal es el eje X. Ambas líneas funcionan juntas para contar una historia con datos. No hay más que ver este gráfico humorístico del dibujante Jorge Cham sobre las vacaciones no tan relajantes de alguien, en el que el eje y se denomina “estrés” y el eje x se denomina “tiempo”.
Para saber dónde se encuentra un punto en el gráfico, hay que medir dónde se encuentra a lo largo de las dos dimensiones (el eje x y el eje y). Esto se conoce como las coordenadas del punto. Tienes que encontrar las coordenadas del primer punto y del segundo para poder calcular la distancia entre ellos. Utilizarás la fórmula de la distancia para medir el segmento de línea recta que une los dos puntos.
Cómo derivar la fórmula de la distancia
Basta de preámbulos. La pregunta que quieres responder es cómo encontrar la distancia entre dos puntos de una gráfica (es decir, dos conjuntos de dos coordenadas).
El primer punto y el segundo punto de tu gráfica tendrán cada uno una coordenada x y una coordenada y. Puedes calcular la distancia más corta entre estos dos puntos utilizando la fórmula de la distancia euclidiana, que es una expresión algebraica relacionada con el teorema de Pitágoras. Aquí está, amigos:
D = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2
Nótese que “D” significa “distancia”. En cuanto a x2 y x1, se refieren a las coordenadas x del Punto 2 y del Punto 1, respectivamente. Lo mismo ocurre con y2 e y1, salvo que son las dos coordenadas y.
Así que para calcular la distancia, nuestro primer paso es restar x1 de x2. Luego tenemos que multiplicar el número resultante por sí mismo (o, en otras palabras, “elevar al cuadrado” ese número). A continuación, debemos restar y1 a y2 y elevar al cuadrado la respuesta que obtengamos al hacerlo.
Esto nos dejará con dos números que debemos sumar. Por último, tomamos ese número y hallamos su raíz cuadrada. Y esa raíz cuadrada, señoras y señores, es nuestra distancia.
Calcular la distancia entre dos puntos
Bien, supongamos que el punto 1 tiene una coordenada x de 2 y una coordenada y de 5. Supongamos también que el punto 2 tiene una coordenada x de 9 y una coordenada y de 13.
Introduce esos valores en la práctica fórmula y obtendrás lo siguiente
D = √(9-2)2 + (13-5)2
¿Cuánto es 9 menos 2? Fácil, 7. Y 13 menos 5 es 8, por supuesto.
Así que ahora nos queda esto:
D = √72 + 82
Si “elevamos al cuadrado” el 7 -es decir, multiplicamos el número por sí mismo- acabamos con 49. En cuanto a 8 al cuadrado, resulta 64. Introduzcamos esos valores en la ecuación, ¿eh?
D = √49 + 64
Ahora estamos cocinando. Suma 49 y 64 y obtienes 113.
D = √113
¿Cuál es la raíz cuadrada de 113? La respuesta es 10,63, por lo tanto:
D = 10.63